奇妙的希臘十字

本研究中的圖形分割與重組，在現場有電腦動畫展示。

一、 研究動機

為了準備科學展覽，到圖書館查資料，偶然在「數學歷史之謎」這本書上（p.23），看見了一個題目《希臘十字》：「合併五個全等正方形所形成的十字架即稱為《希臘十字》。若〈如圖1〉沿著虛線切開十字架，再貼起來，即形成如圖所示由虛線圍起來的正方形。據說，這是早在西元前就已為人熟知的數學謎題。那麼現在試著將十字架分成四部份，再合併成一個正方形看看。」書中舉了兩種解法，又說，「實際上有無限多的切法」，這使我們想起爸爸常提到的：『《畢氏定理》有三百多種證明法』這件事，也引起我們對《希臘十字》的興趣，因此，就拿《希臘十字》來當科學展覽研究的題目。

二、 研究目的

（一）如何分割《希臘十字》，再組合成一個正方形？

（二）其它正多邊形組是否可如法泡製，再組合成一個相似正多邊形？

（三）分割與組合原理之探討。

三、 文獻探討

本研究的目標是：由一個正多邊形邊上向外鏡射，作成一個多邊形組，再以最簡單的方法將其分割後，重組成一個相似的大多邊形。因此凡是能將一圖形化成等面積的另一圖形的方法，都可能與我們的主題有關。

（一） 「數學歷史之謎」《牛頓出版有限公司 出版（1996）》

在本書中（p.39），舉了兩種最為人所熟知的《希臘十字》分割法（圖4、5），又說，「實際上有無限多的切法。即使將一個完整的正方形其中一頂點落在《希臘十字》中央的正方形內（或邊上）的任意點，亦可形成如右圖（圖6）所示的正方形。」但並未說明理由，這是我們探討之要點。

在「剪貼」（p.176--190）這章詳細討論了如何化任意矩形為正方形，又如何化任意三角形為矩形。因多邊形皆可切成三角形，故任意多邊形皆可化為正方形，似乎可以參考。

另外，在p.132--151，討論「舖磚」問題，看來似乎與本題目有關，但相當複雜，不過我們也大致看了一下。

（二） 「通俗數學問題及答案」《凡異出版社 出版》

為了畫正五邊形，我們找有關「黃金分割」的敘述，找到這本書（p.100--105）。

同書中（p.63--71）談到《勾股定理》（畢氏定理），這是化二正方形之和為等面積的正方形，與本研究應該有關，書上舉了十二種《畢氏定理》證明法，相當有趣，因此也列為參考。

四、 研究過程

（一）《希臘十字》（正方形組）的切割法

我們先從《希臘十字》開始。設組成《希臘十字》的正方形之邊長為1，

則重組後的正方形之面積就是5，故其邊長為，而5 = ，符合《畢氏定理》 的形式。換句話說，重組後的正方形邊長就是一個勾1股2的直角三角形的弦長。如圖2，直角三角形ABC中， BC=1，AC =2，故AB=，且只要是平行於AB的直線，與《希臘十字》的任一對平行邊相交後，其兩交點間的長度都是（如DE、FG、MN）。 為什麼呢？因AB//DE，AD//BE，則四邊形ABED為一平行四邊形，故DE=AB=。因《希臘十字》是一個完全對稱的圖形，故垂直於這些平行線的直線，如ST，交於《希臘十字》的另一對平行邊後，也等於。反過來說，在《希臘十字》一對平行邊之間取一線段為，也必平行於如

AB這種線段。

在圖形中找到了這個長度之後，我們發現，最容易的切割方法就是如《希臘十字》題目所畫的（圖1、圖3），將ABCD連接成一個正方形，則可以將《希臘十字》分為1、2、3、4、5等五部份，接著，分別以E、F、G、H為軸心，將1、2、3、4 旋轉180度，即可成為邊長為之大正方形，難怪它早在西元前就已為人熟知。

但題目要求把《希臘十字》分割成四塊，再組成一個邊長為之正方形，因此切割線的長度最好就是，且最好只有兩條。正方形的四個內角皆為直角，所以切割線最好還能造成四個直角。仔細觀察「數學歷史之謎」所舉的解法（如圖4），從中央正方形的一個頂點A，連AB，則AB＝，經A作DE⊥AB，交《希臘十字》於D、E，則DE＝KC＝，AB與ED將《希臘十字》切成1，2，3，4四部份。如圖4，將多邊形4沿DE移至4’， 多邊形2沿AB移至2’，再將多邊形3移至3’，即可組成一個邊長為的正方形ABGF。理由呢？因∠α與∠β互餘，∠α’與∠β’也互餘，∠α＝∠α’， ∠β＝∠β’，所以可湊成直角，且AF＝AE＋EF＝AE＋DA＝DE＝＝BG，故四邊形ABGF為邊長為的正方形。

再看「數學歷史之謎」所舉的另一個解法（圖5），EF＝，現在經十字形中央小正方形內一點P，作AB//EF，交十字形於A、B，再經P作一線段CD，使CD⊥AB，交十字形於C、D，則AB、CD將《希臘十字》分為1、2、3、4等四部份。這樣一來，因為AB＝，CD＝CP＋PD＝，且∠APC＝∠APD＝∠BPC＝∠BPD＝90°, 因此，可以如圖將2沿CD平行移動至2’的位置；將4沿AB移動至4’的位置，再將3移至3’的位置，即可成為一個邊長為之大正方形PQRS。這種切割法也只須將希臘十字分割成四塊，符合題目要求。

書上說：「將一個完整的正方形其中一頂點落在《希臘十字》中央的正方形內（或邊上）的任意點，亦可形成如圖6所示的正方形。」為什麼切割線交點必須落在《希臘十字》中央的正方形內（或邊上）？我們從圖5 已可明白，只要兩切割線互相垂直，且長度皆等於，則切割成的四塊多邊形，必可湊成一個邊長為之正方形。事實上，圖6只是將圖5中的AB與CD維持其互相垂直的關係，且AB＝CD＝，再讓它們在中央的正方形內繞P點旋轉，如果再改變P 點在中央正方形內的位置，真的是「有無限多的切法」。

如果切割線交點不落在《希臘十字》中央的正方形內（或邊上）呢？請看圖7，AB//MN，故AB＝，作CD⊥AB，則CD＝，但AB與CD的交點A落在《希臘十字》的中央正方形外，則AB與CD雖也將《希臘十字》分為1、2、3、4等四部份，但因CD與《希臘十字》有四個交點，而不是兩個，如圖將1移動至1’，將4移動至4’，再將3移至3’的位置，會發現在大正方形ABFE中，3’有一部份超出大正方形ABFE之外( 如箭頭所示），必須再切一次才能拼成完整的大正方形。

如果切割線長度皆為，且交點落在《希臘十字》中央的正方形內（或邊上），但AB與CD不互相垂直，是否仍能只將《希臘十字》分為四部份就拼成完整的大正方形？請看圖8與圖9：AB//MN，CD//PQ，∴AB＝CD＝，《希臘十字》被AB與CD分割成四塊，但因兩切割線沒有造出四個新的直角，因此無論如何移動這四塊多邊形，即使如圖9再多切一塊，仍無法拼成一個完整的大正方形。

再從另一個角度來看，如圖10，將組成《希臘十字》最下方的正方形BKLM移至左上角，則《希臘十字》變成兩個正方形CDKG及AFKE，再如圖11連AB與BC，則AB⊥BC，AB與BC 將多邊形CDEAFG切成1、2、3等三部份，再將2、3分別移至2’、3’的位置，則ABCH仍為一個正方形，《希臘十字》也可算分成四部份，而這也是《畢氏定理》的一種證明。

（二）正六邊形組的切割法

做完了《希臘十字》的切割，再看看其它正多邊形的切割，就由正六邊形著手。如圖12，這是由七個正六邊形組成的正六邊形組，如圖連接ABCDEF則得一個邊長為 的正六邊形，可將原正六邊形組切割成六個小三角形及一個大多邊形，再將小三角形補入正六邊形ABCDEF的空隙中，即形成一完整的正六邊形。

但還有更簡單的切割法，如圖13，由正六邊形組的中心O，沿AOD、BOE及COF切割，將正六邊形組分成六部份，即可重組成一個正六邊形。

再仔細看，還有更簡單的方法。如圖14，只須沿AOE及AOC切割，作成三個頂角為120°之多邊形，即可將多邊形2及3依C、E旋轉，組成一個正六邊形。

（三）正八邊形組的切割法

接著，嘗試正八邊形組的切割。先作九個正八邊形如圖15，但因正八邊形內角為135°，在中央正八邊形M外，作了A、B、C、D四個正八邊形後，必須如圖夾雜1、2、3、4等四個小正方形，才能再接E、F、G、H等四個正八邊形，所以八邊形組無法以簡單的方法切割。但可以將每一個八邊形，皆如圖15中的八邊形E，分割成六個小三角形，再以圖16的方法將九個全等的小三角形，組成一個相似而邊長為原三角形三倍的大三角形，最後再將六個大三角形合併，即可得一大正八邊形。

還有更簡單的方法嗎？有。仔細觀察可發現，將每個小八邊形，如圖15中的M分割成五部份，再以相似形的方法，拼成一個新的大正八邊形，如圖17。若照此方法切割，八邊形組需分割成四十五塊，才能組成一個面積為原來小八邊形九倍的正八邊形。

（四）正五邊形組的切割法

作完了正六邊形組及正八邊形組的切割，最後讓我們來嘗試作圖不易的正五邊形的切割吧！如圖18，自正五邊形組的中心O，令OF ＝1，以OA=為半徑作圓，作正五邊形ABCDE，則正五邊形ABCDE的面積，等於原來的正五邊形組。但由圖可見ABCDE並不與原正五邊形組任何頂點相交，因此，無法以簡單方法切割原正五邊形組，然後重組成一個正五邊形。

將正五邊形ABCDE旋轉180°（如圖19），依然無法找到簡單的切割方法，只好用比較複雜的方法：

(1)先如圖20，將正五邊形組的每一個小五邊形， 皆分割成一個小三角形《Ⅰ》及一個小梯形《Ⅱ》，接著，將所有的小三角形組成一個多邊形，所有的小梯形組成另一個多邊形；然後再將這兩個多邊形變為矩形ABCD及EFGH。

(2) 設矩形ABCD寬為a，長為b，以比例中項的方法( 如圖22 )求出後，如圖20a-1將矩形ABCD切割成Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ等三部份，再如圖20a-2將《Ⅲ》往上推，組成一個新正方形I J KL；同樣的，設矩形EFGH寬為c，長為d （圖20b-1）， 依法作成一個新正方形MNOP。

(3) 如圖21，這是一個邊長為原正五邊形倍之正五邊形，將它如圖切成一個大三角形《I’》及梯形《Ⅱ’》，再把它們分別化為矩形A’B’C’D’及D’E’F’G’，則正方形I J KL及MNOP之面積，應分別等於A’B’C’D’及D’E’F’G’。

(4) 設A’B’C’D’邊長為e、f，而D’E’F’G’ 邊長為g、h，則如圖20a-3及20b-3切割正方形I J KL及MNOP，再如圖20a-4及20b-4拼成兩個矩形A’B’C’D’及D’E’F’G’

(5) 最後將A’B’C’D’及D’E’F’G’分別如圖20a-5、圖20a-6及圖20b-5、圖20b-6化為三角形《I’》及梯形《Ⅱ’》，再合併成如圖21的大五邊形。

五、 討論

最容易切割的多邊形組，也是我們最先嘗試的，其實是三角形組。正三角形組根本不必切割，就已是一個邊長為原三角形兩倍的正三角形，且此情況並不限於正三角形組，對任意三角形組也能成立（如圖26），原因是三角形內角和為180°，恰好可湊成一直線。

這對我們進一步思考《希臘十字》的分割，有很大的啟示。因為《希臘十字》的分割除了（1）要四塊多邊形內角湊成360°外，還要（2）

有四個直角來作正方形的內角，以及（3）等於的邊長。要符合這些條件，最容易的方法當然就是讓切割線長度為，且互相垂直，則後兩個條件都有了。又因《希臘十字》為完全對稱的正方形組成，依切割線來移動，內角互餘或互補的關係不會改變，則另湊成一直線就很方便了，這道理說穿了其實很簡單。

六邊形情況也是如此：切割線等於邊長，切割線所成的角可湊成所需的內角。但在正五邊形組及正八邊形組中，就無法找到這樣的線段（如）與角度了。

作過《希臘十字》的切割後，發現在《畢氏定理》證明中，也有不少方法是和《希臘十字》的切割原理相似的。如圖23，在直角三角形ABC的勾股弦上各作一個以勾股弦為邊長的正方形，再如圖作CE//AB，則四邊形ABEC為平行四邊形。故AC=BE，CE=AB；接著延長IB，使其與FG交於D，則BD⊥CE，且BD=AB，而CE及DB將正方形CBGF切割為2、3、4、5等四部份。然後如圖將2、3、4、5等四部份平行移至斜邊正方形內的2’、3’、4’、5’等位置，短直角邊的正方形1，移至1’的位置，《畢氏定理》得證。類似的分割法，如圖24，也是找兩條互相垂直且與斜邊等長之線段為分割線，切割股上之正方形，再平行移動拼成以弦為邊長的正方形。圖25則與圖4的切割原理類似（切割線通過頂點），這些證明法真的與《希臘十字》之切割，有異曲同工之妙。

探討研究過程，我們發現可以用簡單方法切割正多邊形組而成一大正多邊形的( 如希臘十字、正六邊形組 )，都有二共同特點：就是

（1）它們都可「密合拼湊」，而且

（2）都可於頂點聯線中找出大正多邊形的邊長( 如、 )。

所謂「密合拼湊」，就是將許多全等的正多邊形如鋪磚一般湊合起來時，每個多邊形之間完全沒有空隙，也就是它們的數個內角在拼湊之後，可拼成360°。符合這種條件的只有正三角形、正方形及正六邊形。而無法以簡單方法切割重組的正多邊形組，則都無法密合拼湊，如圖15，正八邊形組中夾雜了四個小正方形；又如圖16，正五邊形組的各個五邊形之間，都夾了一個小三角形。

雖然正五邊形組及正八邊形組無法以最容易的方法切割，但可退而求其次。只要是組成正多邊形組的正多邊形個數為完全平方數，即可利用研究過程八邊形組的方式切割。為什麼呢？由圖26可見，要將幾個全等三角形組成一大相似三角形，則如圖第一層一個，第二層三個，第三層五個，即1+3=2，1+3+5=3，1+3+5+7=4，其個數皆為完全平方數。由另一方面考慮，我們知兩相似三角形的邊長成正比，則大三角形邊長若為原三角形的二倍，則其面積為原三角形之2倍，即四倍；同樣的若大三角形邊長為原三角形之三倍，則需3個原三角形才可組成。

在五邊形組的情況，一組共有六個正五邊形， 但 ” 6 ” 並非完全平方數，故無法以相似形方法切割，再重組為一個面積為6倍之正五邊形。因此對於正五邊形組，只好先切割為三角形及梯形，再把各個全等的小三角形或梯形拼在一起，並轉換成矩形，再將矩形化為正方形，然後將正方形再化為單一多邊形。方法雖然麻煩，但卻能適用於任何多邊形組。

六、 結論

這次的研究，我們大致可以得到一個結論：

（1）可以簡單方法切割的正多邊形組，只有當360°為此多邊形內角度數之整數倍者 ( 符合此條件者只有三角形、正方形及六邊形 )。

（2）其次則是組成多邊形組個數為完全平方數者（如八邊形組有九個正八邊形，9＝3²）。

（3）除此之外的其它正多邊形組，則只能以多邊形化三角形、三角形化矩形、矩形化正方形、正方形再化為矩形，最後再化為三角形的方法，才能拼成一個相似的正多邊形。

七、 參考資料

(一) 「數學歷史之謎」

作者：藤村幸三郎 ,田村三郎 著

張昭 譯

牛頓出版有限公司 出版（1996）

(二) 「通俗數學問題及答案」

作者：矢野建太郎 著

凡異出版社 出版